Question

14．已知f（x）=x²+ax-$\frac{b^2}{4}+1{，_{\;}}$g（x）=2x，
（1）若A={t∈N^*|t²-10t+9≤0}，当a，b∈A时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率；
（2）若B=[0，9]，当a，b∈B时，求f（x）＞g（x）恒成立的概率．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）＞g（x）恒成立的等价条件，利用列举法即可求出对应的概率．
（2）求出满足条件的对应区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：（1）A={t∈N^*|t²-10t+9≤0}={t∈N^*|1≤t≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
a，b∈A时，a，b共有9×9=81种组合，
若f（x）＞g（x）恒成立，
即x²+ax-$\frac{{b}^{2}}{4}$+1＞2x恒成立，
即x²+（a-2）x-$\frac{{b}^{2}}{4}$+1＞0，
则判别式△=（a-2）²-4（-$\frac{{b}^{2}}{4}$+1）=（a-2）²+b²-4＜0，
即（a-2）²+b²＜4，
则满足条件的a，b是（1，1），（2，1），（3，1）共有3个，
则对应的概率P=$\frac{3}{81}$=$\frac{1}{27}$．
（2）若B=[0，9]，当a，b∈B时，对应的区域是边长为9的正方形，面积S=9×9=81，
满足f（x）＞g（x）恒成立的a，b满足（a-2）²+b²＜4，
则对应的区域在第一象限部分的面积S=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2π，
则对应的概率P=$\frac{2π}{81}$．

点评 本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，利用列举法以及求出对应区域面积的方法是解决本题的关键．