Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），x∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量平行得，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=0，解出tanx，结合x的范围求出x；
（2）利用定义式和坐标运算求出数量积，列方程解出x．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=0，即sinx+cosx=0，∴tanx=-1．
∴x∈（0，π），∴x=$\frac{3π}{4}$．
（2）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=1，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×$1×cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
又∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sinx$-$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}sinx$-$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx$=sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∵x∈（0，π），∴x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．∴x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$．
∴x=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系．