Question

11．已知tan2θ=$\frac{3}{4}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则$\frac{si{n}^{2}θ+cos2θ}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$的值为（　　）

• A． $\frac{9\sqrt{5}}{20}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由已知利用两角和的正切函数公式可解得tanθ，利用角的范围及同角三角函数基本关系式可求sinθ，cosθ的值，利用倍角公式，两角和的正弦函数公式化简所求后即可计算得解．

解答 解：∵tan2θ=$\frac{3}{4}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{3}{4}$，解得：tanθ=$\frac{1}{3}$或-3（舍去），
∴cosθ=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{si{n}^{2}θ+cos2θ}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinθ+cosθ）}$=$\frac{\frac{9}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}×（\frac{3\sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{10}}{10}）}$=$\frac{9\sqrt{5}}{20}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．