Question

6．已知函数f（x）=x²+2xsinθ+1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（1）当θ=$\frac{π}{6}$时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当θ=$\frac{π}{6}$时，f（x）=x²+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值．
（2）利用f（x）=x²+2xsinθ-1的对称轴为x=-sinθ，由题意可得-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或-sinθ≥$\frac{1}{2}$，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）当θ=$\frac{π}{6}$时，f（x）=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由于x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$；当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最大值$\frac{7}{4}$．…（6分）
（2）因为f（x）=x²+2xsinθ+1的对称轴为x=-sinθ，
又欲使f（x）在区间[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，
则-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或-sinθ≥$\frac{1}{2}$，即sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或sinθ≤-$\frac{1}{2}$．
因为θ∈[0，2π]，
故所求θ的范围是[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]∪[$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]．…（12分）

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的思想方法，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．