Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n（a_n+1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，则T_2n-T_n≥$\frac{1}{2}$（选“≥，＞，≤，＜”作为答案）

Answer 1

分析 利用递推关系与等差数列的通项公式可得a_n=n，再利用“放缩法”与不等式的性质即可得出．

解答 解：∵2S_n=a_n（a_n+1），
∴当n=1时，2a₁=a₁（a₁+1），∵a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-1）=0，即a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项与公差都为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
则T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≥$\frac{n}{n+n}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：≥．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．