Question

9．函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+2cosπx（-4≤x≤6）的所有零点之和为10．

Answer 1

分析 由f（x）=0，得（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=-2cosπx，设y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx，作出两个函数的图象，利用函数的对称性进行求解即可．

解答 解：由f（x）=0，得（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=-2cosπx，设y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx，作出两个函数的图象，
则y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|y=关于x=1对称，
分别作出函数y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx图象如图：
由图象可知两个函数共有10个交点，它们中有5组关于x=1对称，
不妨设关于x对称的两个零点的横坐标分别为x₁，x₂，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
即x₁+x₂=2，
∴所有10个零点之和为5（x₁+x₂）=5×2=10，
故答案为：10．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合将函数转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．