Question

20．已知x＞0，y＞0，且4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（　　）

• A． 24
• B． 25
• C． 26
• D． 27

Answer 1

分析 设4x+y=m∈（0，26）．由于x＞0，y＞0，且4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=26，可得：$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=26-m．变形为：26-m=$\frac{1}{m}$（4x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{9}{y}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设4x+y=m∈（0，26）．
∵x＞0，y＞0，且4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=26，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=26-m．
∴26-m=$\frac{1}{m}$（4x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{9}{y}）$=$\frac{1}{m}$$（13+\frac{y}{x}+\frac{36x}{y}）$≥$\frac{1}{m}（13+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{36x}{y}}）$=$\frac{25}{m}$，当且仅当y=6x时取等号．
化为：m²-26m+25≤0，
解得1≤m≤25，
∴函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差=25-1=24．
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．