Question

11．已知k∈Z，则（tan$\frac{5π}{12}$）^k（tan$\frac{π}{12}$）^k+2的值为（　　）

• A． 7+4$\sqrt{3}$
• B． 7-4$\sqrt{3}$
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由tan$\frac{5π}{12}$与tan$\frac{π}{12}$互为倒数，可得（tan$\frac{5π}{12}$）^k（tan$\frac{π}{12}$）^k+2=（tan$\frac{π}{12}$）²=7-4$\sqrt{3}$，其中（tan$\frac{π}{12}$）²可以根据二倍角公式来计算．

解答 解：∵tan$\frac{π}{6}$=$\frac{2tan\frac{π}{12}}{1-ta{n}^{2}\frac{π}{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan$\frac{π}{12}$=2-$\sqrt{3}$，或-2-$\sqrt{3}$（舍去），
∴原式=[（tan$\frac{5π}{12}$）×tan$\frac{π}{12}$]^k×（tan$\frac{π}{12}$）²
=[tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{12}$）tan$\frac{π}{12}$]^k×（tan$\frac{π}{12}$）²
=[cot$\frac{π}{12}$×tan$\frac{π}{12}$]^k×（tan$\frac{π}{12}$）²
=1^k×（tan$\frac{π}{12}$）²
=1^k×（2-$\sqrt{3}$）²
=7-4$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数，二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．