Question

3．已知椭圆C的中心在原点，它的长半轴长、短半轴长、半焦距构成等差数列，且与双曲线C′：$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1共焦点，则椭圆C的标准方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

Answer 1

分析 设出椭圆的方程，运用等差数列的中项的性质，由双曲线的焦点坐标，可得2b=a+3，又a²-b²=9，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，
由双曲线C′：$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦点为（±3，0），
可得2b=a+3，又a²-b²=9，
解得a=5，b=4，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用等差数列的中项的性质和双曲线的焦点，考查运算能力，属于中档题．