Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=$\frac{b}{a}$x的对称点在另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先求出F₁到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=$\frac{b}{a}$x的对称点在另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
设一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则F₁到渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b．
设F₁关于渐近线的对称点为M，F₁M与渐近线交于A，∴|MF₁|=2b，A为F₁M的中点，
又焦点F（c，0）关于渐近线y=$\frac{b}{a}$x的对称点在另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，
∴OA∥F₂M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．