Question

5．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（　　）

• A． a
• B． 0
• C． -a
• D． 2016

Answer 1

分析 求出函数的周期，结合函数在0＜x＜1时，f（x）递减，求出f（x）在[2015，2016]上的单调性，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
满足f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），
f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递减，即f（x）在[2015，2016]递减，
∴f（x）在[2015，2016]上的最大值为f（2015），
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），
∵f（1）=a，∴f（2015）=-a，
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．