Question

5．设三棱锥O-ABC的各条棱长均为1，点M，N分别为OA，BC的中点，则$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 正四面体的各夹角为60°，用正四面体的边向量表示出$\overrightarrow{MN}$，再计算数量积．

解答 解：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{OB}$．
∵三棱锥O-ABC的各条棱长均为1，
∴AC⊥OB，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OB}$=0．
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{OB}$=cos60°=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的数量积运算，向量线性运算的几何意义，正四面体的结构特征．判断向量的夹角是关键．