Question

19．将函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=f（x）图象．
（1）写出y=f（x）的解析式；
（2）求f（x）≤-$\frac{1}{2}$的解集；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把y=sin2x的图象左移$\frac{π}{6}$个单位，得y=sin2（x+$\frac{π}{6}$）的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象，即为y=f（x）；
（2）由f（x）≤-$\frac{1}{2}$得sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$，解得x的取值范围即可；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的取值范围即可．

解答 解：（1）把函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得y=sin2（x+$\frac{π}{6}$），即y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
把y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
∴y=f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）；
（2）∵f（x）≤-$\frac{1}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$，
解得$\frac{7π}{6}$+2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，k∈Z；
即$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z；
∴不等式的解集为[$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=f（x）的值域是[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了解三角函数的不等式问题，是基础题目．