Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤0}\\{{x}^{2}-3ax+a，x＞0}\end{array}\right.$有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{4}{9}$，1]
• B． [$\frac{4}{9}$，1]
• C． （$\frac{4}{9}$，+∞）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．

解答 解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，
函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=$\frac{3a}{2}$，最多两个零点，
如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，
由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，
还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点$\frac{4×1×a-（-3a）^{2}}{4×1}$＜0，
解得a＜0或a＞$\frac{4}{9}$，综合可得$\frac{4}{9}$＜a≤1，
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．