Question

2．已知函数f（x）=x²-2bx+3，b∈R．
（1）若函数f（x）的图象经过点（4，3），求实数b的值；
（2）当x∈[-1，2]时，函数y=f（x）的最小值为1，求当x∈[-1，2]时，函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）把点的坐标代入f（x）计算；
（2）对f（x）的对称轴与区间[-1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．

解答 解：（1）把（4，3）代入f（x）得16-8b+3=3，∴b=2．
（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x=b．
①若b≤-1，则f（x）在[-1，2]上是增函数，
∴f_min（x）=f（-1）=4+2b=1，解得b=-$\frac{3}{2}$．
∴f_max（x）=f（2）=7-4b=13．
②若b≥2，则f（x）在[-1，2]上是减函数，
∴f_min（x）=f（2）=7-4b=1，解得b=$\frac{3}{2}$（舍）．
③若-1＜b＜2，则f（x）在[-1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．
∴f_min（x）=f（b）=-b²+3=1，解得b=$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{2}$（舍）．
∴f_max（x）=f（-1）=4+2b=4+2$\sqrt{2}$．
综上，当b≤-1时，f（x）的最大值为13，当-1＜b＜2时，f（x）最大值为4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，分类讨论思想，属于中档题．