Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M为AB的中点．
（1）在侧棱PC上是否存在一点N，使MN∥平面PAD？证明你的结论；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）当$\frac{AB}{AD}$取何值，平面PAD与平面PMC所成的锐二面角为45°？

Answer 1

分析 （1）当N为侧棱PC中点时，有MN∥平面PAD．取PD的中点E，连AE、EQ．只需证明平面PAD外的直线MN平行于平面PAD内的直线AE，即可．
（2）要证平面PBC⊥平面PCD，只需证明AE垂直平面PAD即可；
（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，建立方程关系进行求解即可．

解答 （1）解：当N为侧棱PC中点时，有MN∥平面PAD．
证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EN．
∵N为PC中点，则EN为△PCD的中位线，
∴EN∥CD且EN=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD且AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴EN∥AMEN=AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，则MN∥A
∵MN?平面PAD，AE?平面PA
∴MN∥平面PAD．
（2）证：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．
∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）延长DA，CM交于F，连接PF，
∵M是AB的中点，AM∥CD
∴A是DF的中点，
∵E是PD的中点
∴AE是△PDF的中位线，
∴AE∥PF，
∵AE⊥平面PCD，
∴PF⊥平面PCD，
则PF⊥PD，PF⊥PC，
即∠CPD是平面PAD与平面PMC所成的平面角，
若平面PAD与平面PMC所成的锐二面角为45°，
则∠CPD=45°，
在直角三角形PDC中，
CD=PD，
∵PA=AD，
∴CD=PD=$\sqrt{2}$AD，
即AB=$\sqrt{2}$AD，
则$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$时，平面PAD与平面PMC所成的锐二面角为45°．

点评 本题主要考查线面平行，面面垂直的判断以及二面角的应用，根据相应的判定定理以及二面角的定义通过作辅助线，作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理证明能力．本题也可以建立坐标系，利用向量法进行求解．