Question

3．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求
（1）函数y=f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=0的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系即可得到结论；
（2）确定函数的单调性，极大值，即可求出方程f（x）=0的零点个数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d图象经过（0，2）点，
∴f（0）=2得d=2，
∵在x=-1处的切线为6x-y+7=0，
∴解得y=1，即 切点（-1，1）代入f（x）中得-1+b-c+2=1，即b=c，
切线斜率k=6，即f′（-1）=6，
函数的导数为f′（x）=3x²+2bx+c，即f′（-1）=3-2b+c=6，
解得b=c=-3，
则f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）f（x）=x³-3x²-3x+2=0，
∴f′（x）=3x²-6x-3
当f′（x）=0时，3x²-6x-3=0
∴x²-2x-1=0
∴（x-1）²=2
∴x=1±$\sqrt{2}$
令f′（x）＞0，得x＜1-$\sqrt{2}$或x$＞1+\sqrt{2}$
令f′（x）＜0，得1-$\sqrt{2}$＜x＜1-$\sqrt{2}$，
∴函数的单调增区间为（-∞，1-$\sqrt{2}$），（1+$\sqrt{2}$，+∞），函数的单调减区间为（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
∵f（1-$\sqrt{2}$）=-3+4$\sqrt{2}$＜0，∴方程f（x）=0的零点个数为1．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，考查函数的零点，求函数的导数，利用导数的几何意义、单调性是解决本题的关键．