Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$过点A（2，3），且F（2，0）为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在于行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于$\frac{10\sqrt{13}}{13}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆焦点和椭圆定义，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设存在符合题意的直线l，其方程为y=$\frac{3}{2}x+t$，与椭圆联立，得3x²+3tx+t²-12=0，由此利用根的判别式、点到直线的距离公式，能求出结果方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$过点A（2，3），且F（2，0）为其右焦点，
∴椭圆C的左焦点为F′（-2，0），则|AF|=3，|AF′|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{2a=3+5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=4}\end{array}\right.$，∴b²=16-4=12，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（Ⅱ）设存在符合题意的直线l，其方程为y=$\frac{3}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴△=（3t）²-12（t²-12）=-3t²+144≥0，
解得-4$\sqrt{3}≤t≤4\sqrt{3}$，
∵直线OA与l的距离等于$\frac{10\sqrt{13}}{13}$，∴$\frac{|2t|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{10\sqrt{13}}{13}$，故t=±5．
∵±5∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]，
∴直线l的方程为y=$\frac{3}{2}x-5$或y=$\frac{3}{2}x+5$．

点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用．