Question

6．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
（3）设函数h（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数h（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间）
（2）已知条件可以转化为a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围；
（3）由已知得h′（x）=lnx+1-a，由h′（x）=0时，x=e^a-1．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数h（x）在[1，e]上的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，∴f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{e}$）
令f′（x）＞0得：x＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）的单调递增区间是（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）g′（x）=3x²+2ax-1，由题意2xlnx≤3x²+2ax+1，
∵x＞0，
∴a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立　①，
设h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2，
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．
（3）∵f（x）=xlnx，
∴h（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
∴h′（x）=lnx+1-a，
∴h′（x）=0时，x=e^a-1．
∴①当e^a-1＜1时，即a＜1时，
h（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；
②当1≤e a-1≤e时，即1≤a≤2时，
h（x）在[1，e]内，当x=e^a-1取最小值为：
e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；
③当e^a-1＞e时，即a＞2时，
h（x）在[1，e]内单调递减，
故在x=e处取得最小值为：e-a（e-1）=（1-a）e+a．

点评 本题考查求函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立问题，导数的应用，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．