Question

15．如图，抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为$（0，\frac{1}{4}）$，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切．
（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；
（Ⅱ）过P（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，求AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为$（0，\frac{1}{4}）$，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$⇒x²-kx+k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△={k^2}-4k＞0\\{x_A}+{x_B}=k\\{x_A}•{x_B}=k\end{array}\right.$，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，求出k，即可求AB所在的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为$（0，\frac{1}{4}）$，∴p=$\frac{1}{2}$，∴抛物线E：y=x²，…（3分）
∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，
∴圆M的方程：（x-1）²+（y-2）²=1； …（6分）
（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）
联立$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$⇒x²-kx+k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△={k^2}-4k＞0\\{x_A}+{x_B}=k\\{x_A}•{x_B}=k\end{array}\right.$…（8分）
又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，
则$-\frac{1}{k}∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，而k²-4k＞0，故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜0$.${S_{△NAB}}=\frac{1}{2}|AB|•|NP|=\frac{1}{2}|AB|•d$（其中d表示圆心M到直线AB的距离）
=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{k^2}-4k}•\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{{k^2}-4k}$…（12分）
又${S_{△NAB}}=\frac{3}{2}$，所以${k^2}-4k=\frac{9}{4}$，解得$k=-\frac{1}{2}$或$k=\frac{9}{2}$（舍）
所以AB所在的直线方程为：$y=-\frac{1}{2}（x-1）$即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$．…（15分）

点评 本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．