Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=c，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆方程．
（2）由（1）得F（2，0），0≤m≤2，设l的方程为y=k（x-2），代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线垂直，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2\sqrt{3}}\\{{b}^{2}+{c}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{c=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由（1）得F（2，0），∴0≤m≤2，
假设存在满足题意的直线l，则直线l的斜率存在，设为k，
则l的方程为y=k（x-2），代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
设AB的中点为M，则M（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$），
∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB，∴k_CM•k_AB=-1，
∴$\frac{\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}}{\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-m}$•k=-1，化简，得${k}^{2}=\frac{m}{2（1-m）}$，
当0≤m＜1时，k=$±\sqrt{\frac{m}{2-2m}}$，即存在这样的直线l满足条件，
当l≤m≤2时，k不存在，即不存在这样的直线l满足条件．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线垂直的性质的合理运用．