Question

13．定义在（0，+∞）的函数f（x）非负实数，且满足xf′（x）＜f（x），若m，n∈（0，+∞）且m＜n，则必有（　　）

• A． nf（n）＜mf（m）
• B． nf（m）＜mf（n）
• C． mf（m）＜nf（n）
• D． mf（n）＜nf（m）

Answer 1

分析 根据条件构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，进行求解即可．

解答 解：∵定义在（0，+∞）的函数f（x）非负实数，且满足xf′（x）＜f（x），
∴xf′（x）-f（x）＜0，
设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则h′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
即函数h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵m，n∈（0，+∞）且m＜n，
∴h（n）＜h（m），
即$\frac{f（n）}{n}＜\frac{f（m）}{m}$，即nf（m）＜mf（n），
故选：B．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性是解决本题的关键．