Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
（1）求证：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$互相垂直，试求函数关系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）计算数量积，观察数量积是否为0．
（2）令$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=0，整理出k关于t的函数．

解答 证明：（1）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
解：（2）∵$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$，∴（$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$）•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0，
∴-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+t（t²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$=0．
∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=1，
∴-4k+t（t²-3）=0，即k=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$．
∴f（t）=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．