Question

16．设$\overrightarrow{a}$=（1，2，0），$\overrightarrow{b}$=（1，0，1）．则“$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{c}$为单位向量”的充分不必要条件（填充要，充分不必要，必要不充分）．

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义和公式求出$\overrightarrow{c}$的坐标，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），若满足“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{c}$为单位向量”
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}=x+z=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即x=-2y，z=-x=2y，代入x²+y²+z²=1得4y²+y²+4y²=1，
即9y²=1，y²=$\frac{1}{9}$，
则y=$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{3}$，
当y=$\frac{1}{3}$时，$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
当y=$-\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
故“$\overrightarrow{c}$=（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{c}$为单位向量”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的定义求出向量$\overrightarrow{c}$的坐标是解决本题的关键．