Question

4．已知a₁，a₂，a₃，…，a_k是有限项等差数列，且a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77，若a_k=13，则k的值是18．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出等差数列通项公式，由此能求出k的值．

解答 解：∵a₁，a₂，a₃，…，a_k是有限项等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵a₄+a₇+a₁₀=17，
a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+18d=17}\\{11{a}_{1}+88d=77}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=\frac{5}{3}，d=\frac{2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{5}{3}+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n+1$，
∵a_k=13，∴$\frac{2}{3}k+1$=13，解得k=18．
故答案为：18．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．