Question

9．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，经过左焦点F₁（-1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若|AF₁|=|CB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，
由已知可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且c=1，
所以a=2，即有b²=a²-c²=3，
则椭圆G的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$消y，并化简整理得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
由题意可知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
因为点C，F₁都在线段AB上，且|AF₁|=|CB|，
所以$\overrightarrow{A{F_1}}=\overrightarrow{CB}$，即（-1-x₁，-y₁）=（x₂，y₂-y_C），
所以-1-x₁=x₂，即x₁+x₂=-1，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}=-1$，
解得${k^2}=\frac{3}{4}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x+1）$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x+1）$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．