Question

4．如图，椭圆$W：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当$|AP|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$时，求直线AP的斜率；
（ii）是否存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆W的左顶点A在圆O：x²+y²=16上求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）法一：（i）设直线方程为y=k（x+4），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式列式求得k值；
（ii）由点到直线的距离公式求出圆心到直线AP的距离，再由垂径定理求得|AQ|，代入$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，可得满足条件的直线AP不存在；
法二：（i）直线AP的方程为x=my-4，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用弦长公式列式求得k值；
（ii）由点到直线的距离公式求出圆心到直线AP的距离，再由垂径定理求得|AQ|，代入$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，可得满足条件的直线AP不存在．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x²+y²=16上，∴a=4．
又离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$c=2\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴W的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）法一：（i）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），显然直线AP存在斜率，
设直线AP的方程为y=k（x+4），
与椭圆方程联立得$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+4）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
化简得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
∵-4为上面方程的一个根，∴${x_1}+（-4）=\frac{{-32{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，则${x_1}=\frac{{4-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
由$|AP|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-（-4）|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，
代入得到$|AP|=\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，解得k=±1，
∴直线AP的斜率为1，-1；
（ii）∵圆心到直线AP的距离为$d=\frac{|4k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{16}{{1+{k^2}}}}=\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}}}-1=\frac{{1+4{k^2}}}{{1+{k^2}}}-1=\frac{{3{k^2}}}{{1+{k^2}}}=3-\frac{3}{{1+{k^2}}}$．
显然$3-\frac{3}{{1+{k^2}}}≠3$，
∴不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．
法二：（i）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），显然直线AP存在斜率且不为0，
设直线AP的方程为x=my-4，
与椭圆方程联立得$\left\{\begin{array}{l}x=my-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
化简得到（m²+4）y²-8my=0，
显然-4上面方程的一个根，∴另一个根，即${y_1}=\frac{8m}{{{m^2}+4}}$，
由$|AP|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-0|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，
代入得到$|AP|=\sqrt{1+{m^2}}\frac{8|m|}{{{m^2}+4}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，解得m=±1．
∴直线AP的斜率为1，-1；
（ii）∵圆心到直线AP的距离为$d=\frac{|4|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
∴$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{1+{m^2}}}}=\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}}{{\sqrt{1+{m^2}}\frac{8|m|}{{{m^2}+4}}}}-1=\frac{{{m^2}+4}}{{1+{m^2}}}-1=\frac{3}{{1+{m^2}}}$．
若$\frac{3}{{1+{m^2}}}=3$，则m=0，与直线AP存在斜率矛盾，
∴不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查点到直线距离公式，属中档题．