Question

14．已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F₁、F₂在x轴上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线AF₁的方程为3x-4y+6=0，求出直线l的方程为2x-y-x=0，与椭圆联立，得19x²-16x-44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F₁、F₂在x轴上，
∴设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{16}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）∵椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0），则直线AF₁的方程为y=$\frac{3}{4}（x+2）$，即3x-4y+6=0，
直线AF₂的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，
设P（x，y）为直线l上一点，则$\frac{|3x-4y+6|}{9+16}$=|x-2|，
解得2x-y-1=0或x+2y-8=0（斜率为负，舍），
∴直线l的方程为2x-y-x=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，整理，得19x²-16x-44=0，
设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x₀，y₀），
则有${x}_{0}+2=\frac{16}{9}$，解得${x}_{0}=-\frac{22}{9}$，${y}_{0}=2{x}_{0}-1=-\frac{63}{19}$，
∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（-$\frac{22}{19}$，-$\frac{63}{19}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的另一个交点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．