Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-mx（m＞0），求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定f′（x）的符号，从而求出函数的单调区间．

解答 解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x+$\frac{1}{x}$-m=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{x}$，（x＞0，m＞0），
令g（x）=x²-mx+1，对称轴x=$\frac{m}{2}$＞0，△=m²-4，
①0＜m≤2时，△≤0，g（x）的图象恒在x轴上方，
即f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
f（x）在（0，+∞）单调递增；
②m＞2时，△＞0，
令g（x）=0，解得：x=$\frac{m±\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，而$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）递增，在（$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）递减，在（$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，+∞）递增．

点评 本题考查了求函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．