Question

8．已知数列{a_n}满足nS_n+1=（n+1）S_n+n（n+1）（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n（n+2）{a}_{n}+1}{（n+1）（n-1）}$（n≠1），记T_n=b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由于nS_n+1=（n+1）S_n+n（n+1）（n∈N^*），且a₁=1．变形为$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系可得a_n．
（2）n≥2时，b_n=$\frac{n（n+2）（2n-1）+1}{（n+1）（n-1）}$=2n+3+2$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$，再利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵nS_n+1=（n+1）S_n+n（n+1）（n∈N^*），且a₁=1．
∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
∴S_n=n²．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立，
∴a_n=2n-1．
（2）n≥2时，
b_n=$\frac{n（n+2）{a}_{n}+1}{（n+1）（n-1）}$=$\frac{n（n+2）（2n-1）+1}{（n+1）（n-1）}$=2n+3+2$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=b₂+b₃+…+b_n=$\frac{（n-1）（5+2n+3）}{2}$+2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$
=n²+3n-4+2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=n²+3n-1-$\frac{4n+2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．