Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2．
（1）若椭圆C经过点（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A（-2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足$\frac{PA}{PF}$=$\sqrt{2}$，求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a²-b²=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；
（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得c=1，即a²-b²=1，
又代入点（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），可得$\frac{3}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由题意方程可得F（-1，0），
设P（x，y），由PA=$\sqrt{2}$PF，
可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得x²+y²=2，
由c=1，即a²-b²=1，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和圆x²+y²=2有交点，
可得b²≤2≤a²，又b=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
可得$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{3}$，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查轨迹方程的求法，以及椭圆和圆相交的关系，考查运算能力，属于中档题．