Question

10．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₂（1，0），且该椭圆过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设点Q（2，0），过点F₂作直线l与椭圆E交于A，B两点，且$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，若λ∈[-2，-1]以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC的长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆焦点性质、该椭圆过定点和a，b，c间的关系列出方程组，求出a=$\sqrt{2}$，b=c=1，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ky+1，将直线l的方程代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，由根与系数的关系、向量运算法则、两点间距离公式，结合题意能求出对角线QC的长度的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₂（1，0），且该椭圆过定点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ky+1，
将直线l的方程代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得：
（k²+2）y²+2ky-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠0，且y₂≠0，
由根与系数的关系得y₁+y₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，①，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+2}$，②
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=λ$，且λ＜0，
把①平方除以②，得：
$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2$=-$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，
∴$λ+\frac{1}{λ}$+2=-$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，
由λ∈[-2，-1]，得-$\frac{5}{2}$$≤λ+\frac{1}{λ}≤-2$，
∴-$\frac{1}{2}≤λ+\frac{1}{λ}+2≤0$，∴-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$≤0，
∴0≤k²≤$\frac{2}{7}$，
∵$\overrightarrow{QA}=（{{x}_{1}-2，{y}_{1}）}^{\;}$，$\overrightarrow{QB}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
y₁+y₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$
∴x₁+x₂-4=k（y₁+y₂）-2=-$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，
∴$|\overrightarrow{QC}|$²=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=$\frac{16（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+2）^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{（{k}^{2}+2）^{2}}$
=$\frac{16（{k}^{2}+1）^{2}-28（{k}^{2}+2）+8}{（{k}^{2}+2）^{2}}$
=16-$\frac{28}{{k}^{2}+2}$+$\frac{8}{（{k}^{2}+2）^{2}}$，
令t=$\frac{1}{{k}^{2}+2}$，∴0≤k²$≤\frac{2}{7}$，
∴$\frac{7}{16}≤\frac{1}{{k}^{2}+2}≤\frac{1}{2}$，即t∈[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]，
∴|$\overrightarrow{QC}$|²=f（t）=8t²-28t+16=8（t-$\frac{7}{4}$）²-$\frac{17}{2}$，
∵t∈[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]，∴f（t）∈[4，$\frac{169}{32}$]．
∴对角线QC的长度的最小值为2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查对角线长度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根与系数的关系、向量运算法则、两点间距离公式的合理运用．