Question

19．已知方程2x²-（$\sqrt{3}+1$）x+m=0的两根sinθ和cosθ，（其中θ∈（0，$\frac{π}{4}$）），求：
（1）求m的值．
（2）求sinθ-cosθ

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理、同角三角函数的基本关系，求得m以及sinθ-cosθ的值．

解答 解：（1）∵方程2x²-（$\sqrt{3}+1$）x+m=0的两根sinθ和cosθ，（其中θ∈（0，$\frac{π}{4}$）），
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{m}{2}$，∴1+2sinθcosθ=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，∴m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由以上可得，sinθ•cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sinθ-cosθ=-$\sqrt{{（sinθ-cosθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=-$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}$=-（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查韦达定理，同角三角函数的基本关系，属于基础题．