Question

11．设X是离散型随机变量，其分布列为其中a≠0，b≠0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8

X	0	1	2
P	a	b	$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知得a＞0，b＞0，a+b=$\frac{1}{2}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：∵X是离散型随机变量，a≠0，b≠0，
∴X的分布列性质得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\frac{1}{2}}\\{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2（2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥2（2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$）=8，
当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时，取最小值，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和基本不等式性质的合理运用．