Question

19．求经过点（-5，2），焦点为$（{\sqrt{6}，0}）$的双曲线的标准方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程．

Answer 1

分析 设双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由焦点在x轴上，且$c=\sqrt{6}$，再由点（-5，2）代入双曲线方程，求解即可得到双曲线的方程，则a=$\sqrt{5}$，b=1，e=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，即可得到双曲线的实轴长和虚轴长、离心率、渐近线方程．

解答 解：设双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=5}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{{{5^{\;}}}}-{y^2}=1$．
则a=$\sqrt{5}$，b=1，c=$\sqrt{6}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴双曲线的实轴长为2$\sqrt{5}$，虚轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{30}}{5}$，渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的基本性质，属于中档题．