Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=x²-（a+b）x+ab，其中a＜b，a，b∈R⁺．
（1）?x∈R⁺，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若g（e）＞0，比较a^b与b^a的大小．

Answer 1

分析 （1）问题等价于lnx-kx²≤0恒成立，令h（x）=lnx-kx²，（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论k的符号，得到h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，从而求出k的范围即可；
（2）先求出b＞a＞e，再利用函数f（x）的单调性和对数的运算性质即可得到结论．

解答 解：（1））?x∈R⁺，f（x）≤kx恒成立，
等价于lnx-kx²≤0恒成立，
令h（x）=lnx-kx²，（x＞0），
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-2kx=$\frac{1-2{kx}^{2}}{x}$，
显然k≤0，h′（x）＞0，h（x）递增，不合题意，
k＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＜$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）递增，在（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）=ln$\sqrt{\frac{1}{2k}}$-k•$\frac{1}{2k}$≤0，
解得：k≥$\frac{1}{2e}$；
（2）g（x）=x²-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），其中a＜b，a，b∈R⁺，
由g（e）=（e-a）（e-b）＞0，得：b＞a＞e，或a＜b＜e，
由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x＞e时，f′（x）＜0，0＜x＜e时，f′（x）＞0，
即函数f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
①若e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}{b}$，即blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
则a^b＞b^a；
②若a＜b＜e，
∴$\frac{lna}{a}$＜$\frac{lnb}{b}$，即blna＜alnb，
即lna^b＜lnb^a，
则a^b＜b^a．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想；本题还考查了指数幂的大小比较，根据已知条件，利用函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强有一定的难度，属于中档题．