设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），
证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式．利用递推关系是解决数列的重要方法，要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来．
解答：证明：（必要性）
设是{a
n}公差为d
1的等差数列，则
b
n+1-b
n=（a
n+1-a
n+3）-（a
n-a
n+2）=（a
n+1-a
n）-（a
n+3-a
n+2）=d
1-d
1=0
所以b
n≤b
n+1（n=1，2，3，）成立．
又c
n+1-c
n=（a
n+1-a
n）+2（a
n+2-a
n+1）+3（a
n+3-a
n+2）=d
1+2d
1+3d
1=6d
1（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{c
n}为等差数列．
（充分性）
设数列{c
n}是公差为d
2的等差数列，且b
n≤b
n+1（n=1，2，3，）
∵c
n=a
n+2a
n+1+3a
n+2①
∴c
n+2=a
n+2+2a
n+3+3a
n+4②
①-②得c
n-c
n+2=（a
n-a
n+2）+2（a
n+1-a
n+3）+3（a
n+2-a
n+4）=b
n+2b
n+1+3b
n+2∵c
n-c
n+2=（c
n-c
n+1）+（c
n+1-c
n+2）=-2d
2∴b
n+2b
n+1+3b
n+2=-2d
2③
从而有b
n+1+2b
n+2+3b
n+3=-2d
2④
④-③得（b
n+1-b
n）+2（b
n+2-b
n+1）+3（b
n+3-b
n+2）=0⑤
∵b
n+1-b
n≥0，b
n+2-b
n+1≥0，b
n+3-b
n+2≥0，
∴由⑤得b
n+1-b
n=0（n=1，2，3，），
由此不妨设b
n=d
3（n=1，2，3，）
则a
n-a
n+2=d
3（常数）．
由此c
n=a
n+2a
n+1+3a
n+2=c
n=4a
n+2a
n+1-3d
3从而c
n+1=4a
n+1+2a
n+2-5d
3，
两式相减得c
n+1-c
n=2
（a
n+1-a
n）-2d
3因此
an+1-an=(cc+1-cc)+d3=d2+d3（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{a
n}公差等差数列．
综上所述：：{a
n}为等差数列的充分必要条件是{c
n}为等差数列且b
n≤b
n+1（n=1，2，3，…）
点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”?“结论”是证明命题的充分性，由“结论”、“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．
