Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形， 垂直于底面， ，点为线段（不含端点）上一点.

（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；

（2）已知二面角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解出平面，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求与平面所成角的正弦值；（2）列方程组解出平面，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系列等量关系，解方程可得的值.；

试题解析：（1）以为原点， ， ， 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设，则， ， ， ， ， ；

所以， ， ，

设平面的法向量，则，

即，解得，所以平面的一个法向量，

，

则与平面所成角的正弦值为.

（2）由（1）知平面的一个法向量为，设，则， ， ，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，

由题意得 ，

所以，即，

因为，所以，则.