Question

【题目】已知函数，.

（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.

①求实数的值；

②当时，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题（1）先利用参变分离将不等式化为函数最值：的最大值，再利用导数求函数最值，即得实数的取值范围；（2）①将单调性条件转化为对恒成立，再根据二次函数恒成立条件得不等式，解不等式可得实数的值；②先利用导数研究函数单调性，确定函数值域，再结合图像确定，根据图像确定值域.

试题解析：（1）函数的定义域为.当，，，

∵恒成立，∴恒成立，即.

令，则 ，

令，得，∴在上单调递增，

令，得，∴在上单调递减，

∴当时，，∴.

（2）①当时，，.

由题意，对恒成立，

∴，∴，即实数的值为.

②函数的定义域为.

当，，时，.

，令，得.

	-		+
		极小值

∴当时，，当时，，当时，.

对于，当时，，当时，，当时，.

∴当时，，当时，，当时，.

故函数的值域为.