Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明： .

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围；

∵为数列的前项和，为数列的前项和.

∴只需证明 即可.

试题解析：

（1）由，得 .

整理，得恒成立，即.

令.则.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数的最小值为.

∴，即.

∴的取值范围是.

（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.

∴只需证明 即可.

由（1），当时，有，即.

令，即得 .

∴ .

现证明，

即 .

现证明.

构造函数 ，

则 .

∴函数在上是增函数，即.

∴当时，有，即成立.

令，则式成立.

综上，得 .

对数列，，分别求前项和，得

.