Question

设偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（-3）=0，则不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0的解集为

{x|x＞3或-3＜x＜3}；

．

Answer 1

分析：分析题意偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，说明函数f（x）关于y轴对称，且有f（-3）=f（3）=0，可以大致刻画出函数函数f（x）的草图，从而判断出f（x）+f（x）与0的关系，再利用不等式的性质进行求解；

解答：解：∵f（x）偶函数，f（x）=f（-x）且f（-3）=0，
∴f（-3）=f（3）=0，
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（-3）=0，
∴当x＞-3时，f（x）＞0，当x＜-3时，f（x）＜0，
又∵f（x）偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（3）=0，
∴当x＞3时，f（x）＜0，当0＜x＜3时，f（x）＞0，
∴当-3＜x＜3时，f（x）+f（-x）＞0，
当x≥3或x≤-3时，f（x）+f（-x）≤0，
∵不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0，
∴若x-3＞0，即x＞3，
则要求f（x）+f（-x）＜0，∴x＞3；
若x-3＜0，即x＜3，则要求f（x）+f（-x）＞0，
∴-3＜x＜3
综上x＞3或-3＜x＜3，
故答案为：{x|x＞3或-3＜x＜3}；

点评：此题主要考查偶函数的性质，f（x）=f（-x），结合函数的增减性，来判断f（x）与0的关系，再把抽象的函数与不等式结合起来求不等式的解集，看似考查不等式求解，但又不是具体的不等式，是一道不错的题．