数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;
(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.
分析:(Ⅰ)由题设知b
1,b
3是方程x
2-5x+4=0的两根,b
n+1>b
n,故b
1=1,b
3=4.b
2=2.由此可知b
n=b
1q
n-1=2
n-1.
(Ⅱ)由题设知a
n=log
2b
n+3=log
22
n-1+3=n-1+3=n+2,a
n+1-a
n=[(n+1)+2]-[n+2]=1,故数列{a
n}是首项为3,公差为1的等差数列.
(Ⅲ)由题设知a
1+a
2+a
3+…+a
m=
m×3+×1=
3m+≤a
40=42,故m
2+5m-84≤0,由此可知m的最大值是7.
解答:解:(Ⅰ)由
,知b
1,b
3是方程x
2-5x+4=0的两根,
注意到b
n+1>b
n,得b
1=1,b
3=4.(2分)
∴b
22=b
1b
3=4,?b
2=2.
∴b
1=1,b
2=2,b
3=4
∴等比数列.{b
n}的公比为
=2,
∴b
n=b
1q
n-1=2
n-1(4分)
(Ⅱ)a
n=log
2b
n+3=log
22
n-1+3=n-1+3=n+2(5分)
∴a
n+1-a
n=[(n+1)+2]-[n+2]=1(7分)
∴数列{a
n}是首项为3,公差为1的等差数列.(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列{a
n}是首项为3,公差为1的等差数列
∴a
1+a
2+a
3++a
m=
m×3+×1=
3m+(10分)
又a
40=42
由a
1+a
2+a
3++a
m≤a
40,得
3m+≤42整理得m
2+5m-84≤0,解得-12≤m≤7.
∴m的最大值是7.(12分)
点评:本题考查数列的性质和应用,难度较大,解题时要注意公式的灵活运用,注意培养运算能力.