Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A．B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则|MF|：|AB|的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  2

  3

• D．

  1

  4

Answer 1

分析：因为|MF|：|AB|的值为常数，因此采用特殊的直线AB的位置求|MF|：|AB|的值．不妨设直线AB的斜率为1，得直线AB的方程为y=x+2，与椭圆方程消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和弦长公式分别算出|MF|、|AB|的大小，从而得到直线AB的斜率为1时的|MF|：|AB|值，由此即可得到本题的答案．

解答：解：因为|MF|：|AB|的值为常数，与直线AB的方向无关，所以考虑取特殊位置求|MF|：|AB|的值．
取直线的斜率为1，左焦点为F（-2，0）
∴直线AB的方程为y=x+2，联立方程组

x2 9 + y2 5 =1 y=x+2

消去y，整理得14x²+36x-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

，
代入直线方程，可得y₁+y₂=（x₁+2）+（x₂+2）=

10

7

，
∴AB中点坐标为（-

9

7

，

5

7

），则AB的中垂线方程为y-

5

7

=-（x+

9

7

），
令y=0，得x=-

4

7

，∴点N的坐标（-

4

7

，0）．
∴|NF|=

(- 4 7 +2)2

=

10

7

，|AB|=

2[(- 18 7 )2-4×(- 9 14 )]

=

30

7

因此，|MF|：|AB|的值为

10

7

：

30

7

=

1

3

故选：B

点评：本题给出椭圆焦点弦的垂直平分线，求垂直平分线与x轴交点与焦点距离跟弦长AB的比值，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．