Question

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为4+2

3

．

（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且

MC

=λ

CN

，

MD

=μ

DN

，求λ+μ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意知：

2a+2c=4+2 3 e= c a = 3 2

，由此能求出椭圆方程．
（II）由A（-2，0），B（0，1），知kAB=

1

2

．由CD∥AB，设直线CD的方程为y=

1

2

x+m，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-2=0，再由根的判别式和韦达定理知λ=-1-

2m

x1

，同理，μ=-1-

2m

x2

，由此能求出λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．

解答：解：（I）由题意知：

2a+2c=4+2 3 e= c a = 3 2

，
∴a²=4，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（II）∵A（-2，0），B（0，1），∴kAB=

1

2

．
由CD∥AB，设直线CD的方程为y=

1

2

x+m，
由已知，得M（-2m，0），N（0，m），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-2=0，
△=（2m）²-4（2m²-2）＞0，∴m²＜2，
∴x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由

MC

=λ

CN，

得（x₁+2m，y₁）=λ（-x₁，m-y₁），
∴x₁+2m=-λx₁，即λ=-1-

2m

x1

，
同理，由

MD

=μ

DN

，得μ=-1-

2m

x2

，
∴λ+μ=-2-2m(

1

x1

+

1

x2

)=-2-2m×

x1+x2

x1x2

=-2+

2m2

m2-1

=

2

m2-1

，
由m²＜2，得

2

m2-1

∈(-∞，-2]∪(2，+∞)，
∴λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．