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    （2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 (a＞b＞0)    的离心率是
    		2
    2
    ，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
    1
    |P1Q|
    +
    1
    |P2Q|
    =
    2
    |FQ|
    =2    ．
    （Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
    （Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
    ①求证：B、C关于x轴对称；
    ②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．
    分析：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由
    1
    |P1Q|
    +
    1
    |P2Q|
    =
    2
    |FQ|
    =2    ，得x=
    a2
    c
    ，依题意|FQ|=1，即
    a2
    c
    -c=
    b2
    c
    =1    ，再由离心率
    c
    a
    =
    		2
    2
    ， b2=a2-c2    ，联立即可解得a，b，c，及点Q坐标；
    （Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），只需证明B1即为点C，可证A、F、B1三点共线，根据斜率相等及韦达定理即可证明；②由①得B、C关于x轴对称，同理A、D关于x轴对称，易知四边形ABCD是一个等腰梯形，从而四边形ABCD的面积S=|x1-x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1-y2|•|y1+y2|，代入韦达定理可得关于m的函数，通过换元借助导数可求得S的最大值及相应的m值，从而可得直线方程；
    解答：解：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．

    由
    1
    |P1Q|
    +
    1
    |P2Q|
    =
    2
    |FQ|
    =2    ，
    可得
    1
    x+a
    +
    1
    x-a
    =
    2
    x-c
    ，解得x=
    a2
    c
    ．
    依题意|FQ|=1，即
    a2
    c
    -c=
    b2
    c
    =1    ．
    又因为
    c
    a
    =
    		2
    2
    ， b2=a2-c2    ，所以a=
    		2
    ， b=c=1    ．
    故椭圆的方程是
    x2
    2
    +y2=1    ，点Q的坐标是（2，0）．        
    （Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，
    依题意，△=（4m）2-8（2+m2）=8（m2-2）＞0，m2＞2．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-
    4m
    2+m2
    ，y1•y2=
    2
    2+m2
    ．（*）
    点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），
    则A、F、B1三点共线等价于
    y1
    x1-1
    =
    -y2
    x2-1
    ?
    y1
    my1+1
    +
    y2
    my2+1
    =0    ?
    2my1y2+y1+y2
    (my1+1)(my2+1)
    =0    ，
    由（*）可知上述关系成立．
    因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．
    ②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．
    所以，四边形ABCD是一个等腰梯形，
    则四边形ABCD的面积S=|x1-x2|•（|y1|+|y2|）=|m|•|y1-y2|•|y1+y2|=
    4m2
    2+m2
    		(y1-y2)2
    =8
    		2
    •
    m2
    		m2-2
    (2+m2)2
    ．
    设t=
    		m2-2
      (t＞0)    ，则m2=t2+2，S(t)=8
    		2
    •
    (t2+2)t
    (t2+4)2
    ．
    求导可得S′=-8
    		2
    •
    (t4-6t2-8)
    (t2+4)3
    ，令S'=0，可得t2=3+
    		17
    ．
    由于S（t）在(0，
    		3+
    		17
    )    上单调增，在(
    		3+
    		17
    ，+∞)    上单调减．
    所以，当t2=3+
    		17
    即m2=5+
    		17
    时，四边形ABCD的面积S取得最大值．                     
    此时，直线l的方程是x=±
    		5+
    		17
    y+2    ．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程及直线的方程，考查三点共线及直线斜率，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，所用知识点繁多，对能力要求高．
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    1
    4
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    48
    48
    ．

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    a
    ，
    b
    ，则“
    a
    •
    b
    =|
    a
    ||
    b
    |”是“
    a
    与
    b
    共线”的（　　）

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