Question

不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：要分别考虑二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数为0时，只要验证是否对一切x∈R成立即可；当二次项系数不为0时，主要用二次函数开口方向和判别式求出m的取值范围．
最后两种情况下求并集即可．

解答：解：若m²-2m-3=0，则m=-1或m=3．…（2分）
若m=-1，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为4x-1＜o不合题意；…（4分）
若m=3，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为-1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取．…（6分）
设f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1，
当 m²-2m-3＜0且△=[-（m-3）]²+4（m²-2m-3）＜0，解得：-

1

5

＜m＜3．…（9分）
即-

1

5

＜m＜3时不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，
故m∈(-

1

5

，3]．…（12分）

点评：本题主要考查二次函数恒成立问题，考虑二次项系数为0的情况容易忽略，所以也是易错题．