Question

6．已知y=f（x）与y=f（x+1）都是定义在R上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x²-4x-2，若y=f（x）与g（x）=log_a（x+1）的图象至少有3个交点，则a取值范围为（　　）

• A． 0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． 1＜a＜$\sqrt{3}$
• D． 1＜a＜$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性的性质判断函数的周期性，作出函数f（x）的图象，利用数形结合建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x）与y=f（x+1）都是定义在R上的偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），
即f（-x+1）=f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
此时f（-x）=-2x²+4x-2=f（x），
即f（x）=-2x²+4x-2，x∈[0，1]，
当x=2时，f（2）=f（0）=-2，
作出f（x）的图象如图：
当a＞1时，f（x）与g（x）只有一个交点，不满足条件．
当0＜a＜1时，若y=f（x）与g（x）=log_a（x+1）的图象至少有3个交点，
则满足g（2）＞-2，
即log_a（2+1）＞-2，
即log_a3＞-2，
即log_a3＞-2log_aa=log_aa^-2，
即a^-2＞3，
则a²＜$\frac{1}{3}$，
解得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．