Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴交于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形
（1）求C的方程
（2）延长AF交抛物线于点E，过点E作抛物线的切线l1 ， 求证：l1∥l．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线的焦点F（ ，0），设D（t，0），则FD的中点为（ ，0）．

∵|FA|=|FD|，∴3+ =|t﹣ |，解得t=3+p或t=﹣3（舍）．

∵ =3，∴ ，解得p=2．

∴抛物线方程为y2=4x

（2）解：由（1）知F（1，0），设A（ ，m）（m≠0），D（xD，0），

∵|FA|=|FD|，则|xD﹣1|= +1，由xD＞0得xD= +2，即D（ +2，0）．

∴直线l的斜率为kAD=﹣ ．

设l1：y=kx+n（k≠0）与抛物线相切，代入可得ky2﹣4y+4n=0，△=0，所以E（ ， ），

∵A，F，E三点共线，∴m（ ﹣1）= ，

解得k= 或k=﹣ ．

k= ，E与A重合，舍去，

∴k=﹣ ，

∴l1∥l．

【解析】（1）根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点横坐标，列出方程解出p．（2）根据|FA|=|FD|列出方程得出A，D横坐标的关系，从而得出l的斜率，设l1方程，与抛物线方程联立，由判别式△=0得出l的截距与A点坐标的关系，求出E点坐标，利用A，F，E三点共线，即可证明结论．