Question

已知函数，满足f′（0）=1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程在[0，2]恰有两个不同的实根，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（0）=1求出m的值代入函数f（x），然后根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求单调区间．
（2）将函数f（x）的解析式代入方程得，
然后组成函数，根据单调性和极值点求解．
解答：解：（1），∵f′（0）=1，∴m=1．
∴，
令（舍去）．
当时，f'（x）＞0
∴f（x）在上是增函数；
当时，f'（x）＜0
∴f（x）在上是减函数．
（2），
由，
得，
设，=
当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，则h（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，则h（x）在（1，+∞）上单调递增；
而h（0）=-c，，h（2）=ln3-1-c
在[0，2]恰有两个不同的实根等价于
∴实数c的取值范围．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．