Question

如右图，A、B、C、D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴运动．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD?

证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

(1)取AB的中点E，连结DE，CE，

因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时，

因为平面ADB∩平面ABC＝AB，

所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，

由已知可得DE＝，EC＝1，

在Rt△DEC中，CD＝＝2.

(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.

证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.

②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.

又DE，CE为相交直线，

所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.

综上所述，总有AB⊥CD.

【解析】略